奥数探秘之极端原理

【来源：易教网 更新时间：2025-04-01】

一、极端性原理：

1.最小数原理、最大数原理

命题一 有限个实数中，必有一个最小数(也必有一个最大数).

命题二任意有限个两两不同的实数可以从小到大排列顺序.上述两个命题对无穷多个实数可能不成立，例如对于集合{2-n|n∈N}，其中就没有最小的数.

对于自然数集，有

最小数原理 若M是自然数集N的任一非空子集(有限或无限均可)，则M中必有最小的数.

2.最短长度原理

最短长度原理1：任意给定两点，所有连接这两点的线中，以直线段的长度为最短;

最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有线中，以垂线段的长度为最短。

二、典型例题

(一)考虑问题的极端情形：

引例：平面上有n个(n≥3)点，任三点不共线，证明：存在3点A、B、C，使其余n-3个点都在△ABC外面.

例1 求证：在四面体ABCD中，必有某个顶点，从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形。

例2 给出平面的一个有限点集，点集中的点不全在一条直线上.证明：存在一条直线，只经过点集中的两个点.

例3 平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线.求证：可以用n条线段连结这2n个点，每条线段连结一个红点与一个蓝点，且这n条线段没有公共点.

例4 有n(n³3)个排球队参加单循环赛 (排球赛的每场都要分出胜负) ，比赛结束后，发现没有一个队全胜.求证：必存在三个队A，B，C，使A胜B，B胜C，C又胜A.

例5 有n个男生，m个女生(n，m>1)，每一个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识n个男生，证明：他们当中，必有两个男生和两个女生，其中每个男生恰好认识其中一女生，其中每个女生恰好认识其中一男生。

(二)逐步调整法

例6 一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块糖，然后按下列规则调整：所有小孩同时把自己手中的糖分一半给右边的小孩，糖块变为奇数的人向老师要1块糖.这算一次调整.证明：经过有限次调整后，大家的糖就变得一样多了.

(三)无穷递降法

例7 若干个球装在2n+1个口袋中，如果任意取走1袋，总可以把余下的2n袋分成两组，每组n袋，并且这两组的球的个数相等.证明：每个袋中的球的个数都相等.

例8 试求方程x3-2y3-4z3=0的所有整数解.

例9 设正整数n ，m满足n>m，证明：存在的一种不等的倒数分拆，既存在自然数n1

(四)构造法与极端性原理

例10 求最大的整数A，使对于由1到100的全部自然数的任意一排列，其中都有10个位置相邻的数，其和大于或等于A。

例11 若平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，且中点染成红色.证明：平面上至少有1991个红点，你能找到恰有1991个红点的特例吗?

(五)反证法与极端性原理

例12 设a是大于1的自然数，求证：a的所有正因数中，至少有一个是质数.

例13 设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格单调递增函数，f(2)=2，当m，n互质时，有f(mn)=f(m)f(n)，求证：对一切自然数n，有f(n)=n。

(六)几个例题

例14 已知 ， ，…， 与 ， ，…， 是2n个数，且 2+ 2+…+ 2=1， 2+ 2+…+ 2=1，求证： ， ，…，中存在一个值一定不大于1。

例15 求证：单位长的任何曲线能被面积为 的闭矩形覆盖。(美国普特南数学竞赛题，19)