高一数学练习题(3)

【来源：易教网 更新时间：2026-09-18】

刚上高一的同学，是不是刚接触集合都觉得这门课特别“虚”？知识点看起来全是认识的中文，组合在一起就不知道啥意思，做题的时候错得五花八门：描述法写来写去总漏元素，点集数集傻傻分不清，方程的解集大括号小括号乱用，明明知识点都背熟了，一考试就掉链子。

其实集合是整个高中数学的“地基”，后面学的函数、不等式、数列，哪一个都离不开集合的思维，甚至高考数学压轴题的解题思路，底层都是集合的逻辑。今天就把高一前两周必考的12道集合经典题给大家掰碎了讲，把这些题搞懂，集合部分的基础你就打牢了，后面学其他内容也能少走很多弯路。

描述法的易错点：细节错一点，全题都丢分

集合的表示方法有两种：列举法和描述法，其中描述法是考试的重点，也是大部分同学最容易出错的地方。我们先看前3道题，都是考描述法的正确表示：

第一题给的集合是{1,5,9,13,17}，要求用描述法表示，四个选项里只有D是正确的。很多同学会误选A，觉得小于18的正奇数就是这几个数，其实不然，小于18的正奇数还有3、7、11、15，没有包含在给定集合里，不符合描述法“完全对应”的要求。

B选项的问题是没有限制k的范围，k取负数的时候，比如k=-1，得到x=4*(-1)+1=-3，不属于给定集合，多了很多多余元素。C选项里t可以取0，代入得x=4*0-3=-3，同样多了多余元素。只有D选项里s是正整数，s=1时x=1，s=2时x=5，正好和给定集合完全对应，没有多余也没有遗漏。

做描述法的题的时候，要格外留意三个细节：第一是代表元素的属性要完全覆盖集合的所有元素，不能多也不能少；第二是参数的范围必须明确，比如k∈还是k∈*，t能不能取0，这些条件一旦写错，整个集合就错了；

第三是参数的表达式要和集合元素完全匹配，比如本题里D选项的表达式x=4s-3，s取正整数时得到的元素和给定集合完全一致，才是正确的表示。

还要注意描述法和列举法的区别，比如{x|x=0}是描述法，代表元素是x，满足x=0，所以集合是{0}；而{x=0}是列举法，集合里的元素是“x=0”这个等式，两者完全不同，考试的时候经常考这个点，要格外留意。

再比如资料里的第8题，求自然数集x满足4x-3是4的约数的集合，4的约数有±1,±2,±4，代入4x-3等于这些约数，解出x之后要筛选出自然数，最终得到A={1,2,4,5,7}，这里如果忘了x是自然数的限制，就会把负数的解也加进去，出错。

新定义集合运算：读懂规则比会算更重要

很多同学一看到“新定义运算”就慌，觉得这是难题，其实新定义集合运算的核心就是“按规则办事”，只要把定义的规则读明白，计算难度并不高。我们看第3道题：

定义集合运算\( A*B=\{z \mid z=xy, x\in A, y\in B\} \)，A={1,2}，B={0,2}，求A*B的所有元素之和。首先我们把定义的规则拆解开：A*B里的元素z，是A中的元素和B中的元素相乘得到的。

那我们先一一列举所有可能的乘积：1*0=0，1*2=2，2*0=0，2*2=4。接下来根据集合的互异性，去掉重复的元素0，所以A*B={0,2,4}，元素之和就是0+2+4=6，答案选D。

遇到这类新定义运算，只要抓准两个关键就不会错：一是明确元素的生成规则，本题里就是A中元素乘B中元素；二是记得集合元素的互异性，重复的元素只算一次。只要这两点抓准了，再复杂的定义也能拆解开。

还有资料里的第2道题，P是偶数集，M是奇数集，a是偶数，b是奇数，偶数加奇数一定是奇数，所以c=a+b属于M，答案选B。这里用到的是集合的奇偶性运算，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，是集合运算里的小考点，记熟了做题更快。

再比如第6道题，P={1,2,3,4}，Q={4,5,6,7,8}，定义\( P*Q=\{(a,b) \mid a\in P, b\in Q, ab<10\} \)，P有4个元素，Q有5个元素，总共有4*5=20种有序数对，其中只有a=2、b=5时2*5=10不满足条件，所以总个数是20-1=19，答案选C。

点集和数集：元素不同，集合完全不同

集合的核心是元素，元素是什么类型，集合就是什么类型，很多同学搞不清点集和数集的区别，本质就是对“集合的元素”这个概念理解不透。我们看第5道题：集合\( \{(x,y) \mid y=2x-1\} \)表示什么？

首先看这个集合的元素是有序数对(x,y)，也就是直角坐标系里的点，所有满足y=2x-1的点合起来，正好是一次函数y=2x-1的图象上的所有点，所以答案选D。很多同学会误选A，觉得这就是方程y=2x-1，要注意方程是含有未知数的等式，而这里的元素是点，不是等式，所以A错误。

B选项说点(x,y)，没有明确范围，是所有点还是满足条件的点，表述不完整，所以也不对。C选项说所有点组成的集合，显然范围太大，不符合。

还要注意区分\( \{y \mid y=2x-1\} \)这个集合，它的元素是y，也就是函数的所有函数值，是数集，和前面的点集完全不是一回事。

再比如第4题里的集合\( \{(x,y) \mid xy<0, x,y\in \mathbb{R}\} \)，元素是满足x和y异号的点，也就是第二、第四象限的点，不包括坐标轴，因为坐标轴上x或y有一个是0，乘积是0，不满足小于0的条件，很多同学会漏了“不包括坐标轴”这个细节，这里要格外注意。

再比如资料里第10题的第二个小问，阴影部分（含边界，不含虚线）的点集，x的范围是-1到2，y的范围是-1到1，而且xy>0，所以表示成\( \{(x,y) \mid -10\} \)，这里的元素是有序数对，所以是点集，要注意把所有的范围条件都写全。

解集的表示：大括号小括号不能乱用

方程的解、方程组的解，只要是多个解，都是集合，必须用大括号括起来，这是很多同学容易踩的坑。我们看第3道大题里的方程组解集题：

方程组\( \begin{cases}x+y=1 \\ x-y=9\end{cases} \)的解是x=5，y=-4，对应的坐标是(5,-4)，这是一个点，所以方程组的解集是含有一个元素的集合，必须写成{(5,-4)}，不能写成(5,-4)，因为(5,-4)只是一个坐标，不是集合，所以答案选D。

还有第4题里的命题判断：“很小的实数可以构成集合”是错误的，因为“很小”没有明确的判断标准，不符合集合的确定性；

“集合\( \{y \mid y=x^2-1\} \)与集合\( \{(x,y) \mid y=x^2-1\} \)是同一个集合”也是错的，前者是数集，元素是y的取值，后者是点集，元素是抛物线上的点，类型完全不同；

“1，3/2，6/4，|-1/2|,0.5这些数组成的集合有5个元素”也是错的，因为3/2=6/4=1.5，|-1/2|=0.5，有重复元素，根据互异性，集合只有3个元素；

“集合\( \{(x,y) \mid xy\geq0, x,y\in \mathbb{R}\} \)是指第二和第四象限内的点集”也是错的，xy≥0包括x和y同号的第一、第三象限，还有x=0或y=0的坐标轴，所以四个命题全错，答案选A。

集合元素的三个性质：所有集合题的底层逻辑

集合的所有题目，本质上都是围绕三个性质出题：确定性、互异性、无序性，只要把这三个性质吃透，大部分集合题都能迎刃而解。

我们看第7道题：由实数x，-x，x，-3x所组成的集合里面元素最多有几个？首先x=|x|，所以x和x或者-x必然有一个相等，比如x>0时，x=x或x=-x，解得x=1或x=0；x<0时，x=-x或x=x，解得x=-1或x=0；x=0时，四个元素都是0，集合只有一个元素。

另外-3x=-x，解得x=0或x=±√(1/3)，所以不管x取什么值，这四个元素里最多只有2个不重复的，比如x=1时，四个元素是1,-1,1,-3，去重后是{1,-1}，只有2个元素，所以答案是2。这里同样用到集合的互异性，重复的元素只算一次。

方程与集合的结合：判别式是核心

集合和方程结合的时候，一元二次方程的判别式是核心考点，我们看最后两道题：

第一道：集合\( \{x \mid x^2-2x+m=0\} \)含有两个元素，说明这个一元二次方程有两个不相等的实根，所以判别式\( \Delta = (-2)^2 - 4\times1\times m > 0 \)，也就是\( 4-4m>0 \)，解得\( m<1 \)，所以实数m满足的条件是m<1。

这里要注意“含有两个元素”就是两个不同的实根，所以判别式必须大于0，如果判别式等于0，方程有两个相等的实根，集合只有一个元素，不符合条件。

第二道：已知集合\( A=\{x \mid ax^2-3x+2=0\} \)，A中元素至多只有一个，求a的取值范围。这里要分两种情况讨论：①当a=0时，方程变为-3x+2=0，只有一个解x=2/3，符合“至多一个元素”的要求；

②当a≠0时，方程是一元二次方程，要满足至多一个实根，也就是判别式\( \Delta = (-3)^2 - 4\times a \times 2 \leq 0 \)，即\( 9-8a\leq0 \)，解得\( a\geq \frac{9}{8} \)。

所以a的取值范围是\( a=0 \)或\( a\geq \frac{9}{8} \)。

还有那道已知1是集合\( A=\{x \mid ax^2+2x+1=0\} \)的元素，求集合A的题，把x=1代入方程得\( a*1^2+2*1+1=0 \)，解得a=-3，此时方程是-3x+2x+1=0，解这个方程得x=1，x=-1/3，所以集合\( A=\{-\frac{1}{3}, 1\} \)，这里要注意a≠0，如果a=0的话，方程是一次方程，只有一个根，不可能是1和另一个根，所以a=-3是唯一解。

其实集合部分的知识点并不难，大部分题目都是在考基础概念的理解，只要把描述法的规则、点集数集的区别、解集的表示方法、集合的三个性质这几个核心点搞懂，考试的时候基本不会丢分。把这12道经典题刷一遍，把每个易错点都理清楚，集合部分的基础就稳了，后面学函数、不等式的时候，你会发现现在的努力特别值得。

如果还有哪里没看懂，评论区留言，咱们一起拆解。