高一数学集合题天天练？吃透这20道题，开学稳进前五！

【来源：易教网 更新时间：2026-08-13】

高一数学集合题天天练？吃透这20道题，开学稳进前五！

刚上高一的孩子，第一次月考数学就栽在"集合"上，这种事儿我听过太多回了。

有个妈妈后台留言，说孩子初中数学从来没下过110，结果高一第一次月考78分，错题本翻开一看，满屏都是集合的选择填空。她跑来问我："集合不是初中讲过吗？怎么高一又讲一遍？"

哎，其实真不一样。

初中讲的集合，浅浅地碰一下概念，顶多考考你会不会写 \( \{1,2,3\} \) 这种东西。但高一集合，是整个高中数学的"地基中的地基"。函数定义域要用集合写，不等式解集要用集合表示，后面学的区间、交集并集，全是集合语言的延伸。

这块学不透，后面的数学学习就像踩在棉花上——使不上劲。

今天这篇文章，我整理了20道高一集合的经典练习题，覆盖了集合的表示方法、元素特征、集合运算三大核心考点。每一道题我都附了详细解析，家长可以打印出来让孩子做一遍，错题整理到错题本上，定期翻一翻，比刷十套卷子都管用。

下面进入正题。

一、集合的表示：吃透互异性和无序性

咱们先来热热身，看看下面这道选择题：

例题1：下列命题中正确的是（　　）

① \( 0 \) 与 \( \{0\} \) 表示同一个集合；

② 由 \( 1,2,3 \) 组成的集合可表示为 \( \{1,2,3\} \) 或 \( \{3,2,1\} \)；

③ 方程 \( (x-1)^2(x-2)=0 \) 的所有解的集合可表示为 \( \{1,1,2\} \)；

④ 集合 \( \{x|4

这道题看着简单，坑却一个接一个。

第①个说法，很多孩子上来就选，结果掉坑里了。\( 0 \) 是一个元素，\( \{0\} \) 是一个集合，这是高一数学里第一个需要分清的"层次感"。就好比"小明"是一个人，"教室里的小明"是一个组合，完全不同的概念。

第②个说法，是考察集合元素的无序性。\( \{1,2,3\} \) 和 \( \{3,2,1\} \) 在数学上表示同一个集合，就像你书桌上的三本书，无论怎么换位置，书还是那三本。这点孩子理解起来没什么难度。

第③个说法，考察的是集合元素的互异性。

\( (x-1)^2(x-2)=0 \) 这个方程的解是 \( x=1 \) 和 \( x=2 \)，但 \( 1 \) 出现了两次（因为 \( (x-1)^2=0 \) 有两个相等的根都是 \( 1 \)），所以正确的表示应该是 \( \{1,2\} \)，而不是 \( \{1,1,2\} \)。

互异性是集合最重要的特征之一，也是高考常考的考点。

第④个说法，因为 \( 4

答案选 C，只有第②个说法正确。

例题2：用列举法表示集合 \( \{x|x^2-2x+1=0\} \) 为（　　）

这道题很多孩子会选 A \( \{1,1\} \)，原因还是没把互异性刻在脑子里。

\( x^2-2x+1=0 \) 这个方程，可以写成 \( (x-1)^2=0 \)，解出来只有一个根，就是 \( x=1 \)。哪怕是从集合的角度看，这个根也只算一个元素，所以正确答案是 \( \{1\} \)。

答案选 B。

例题3：已知集合 \( A=\{x \in \mathbb{N}^* | -5 \leq x \leq 5\} \)，则必有（　　）

这道题的关键，是读懂 \( \mathbb{N}^* \) 这个符号。

\( \mathbb{N}^* \) 表示"正整数集"，也就是 \( 1,2,3,4,\dots \) 不包括 \( 0 \)。

所以满足 \( -5 \leq x \leq 5 \) 且 \( x \) 是正整数的 \( x \)，只有 \( 1,2,3,4,5 \) 这五个数。集合 \( A=\{1,2,3,4,5\} \)。

那么 \( -1 \in A \) 显然错误，因为 \( -1 \) 不是正整数。\( 0 \in A \) 也错误，因为 \( \mathbb{N}^* \) 不包括 \( 0 \)。

\( 3 \in A \) 正确，但题目问的是"必有"，也就是说不管 \( a \) 取什么值，这个元素一定在 \( A \) 里。\( 3 \) 虽然在 \( A \) 里，但不是每一道类似题目都这样设置。

题目中给出的四个选项里，\( 1 \) 是最稳妥的答案，因为无论怎么变化，\( 1 \) 一定在 \( A \) 中。

答案选 D。

二、集合运算：交集并集是重头戏

集合运算这一块，是高一第一次月考和期中考试的必考内容。

例题4：设集合 \( A=\{x|2 \leq x < 4\} \)，\( B=\{x|3x-7 \geq 8-2x\} \)，则 \( A \cup B \) 等于（　　）

很多孩子看到这种题就懵，其实一步一步算就好。

先化简集合 \( B \)：\( 3x-7 \geq 8-2x \)，移项合并得 \( 5x \geq 15 \)，即 \( x \geq 3 \)。

所以 \( B=\{x|x \geq 3\} \)。

接下来画数轴，这是解集合题的"神器"。在数轴上画两个集合，取它们的并集，就是把两个集合的范围"合在一起"。

\( A \) 的范围是 \( [2,4) \)，\( B \) 的范围是 \( [3,+\infty) \)，合在一起，就是从 \( 2 \) 开始的整个范围。注意 \( A \) 中的 \( 2 \) 要保留，所以答案是 \( \{x|x \geq 2\} \)。

答案选 B。

例题5：已知集合 \( A=\{1,3,5,7,9\} \)，\( B=\{0,3,6,9,12\} \)，则 \( A \cap B= \)（　　）

交集，就是两个集合"公共的部分"。

\( A \) 和 \( B \) 中都有的元素有 \( 3 \) 和 \( 9 \)，所以 \( A \cap B=\{3,9\} \)。

答案选 D。

这道题看着简单，但孩子容易粗心。交集是取公共元素，并集才是合并所有元素。很多孩子一着急就把并集和交集搞混，结果把 \( 0,1,3,5,6,7,9,12 \) 全写上去，那就是并集了。

例题6：50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项。参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________

这道题是经典的容斥原理题，孩子必须学会画韦恩图。

设两项都参加的有 \( x \) 人，那么只参加甲项的有 \( 30-x \) 人，只参加乙项的有 \( 25-x \) 人。

根据总人数建立方程：\( (30-x)+x+(25-x)=50 \)。

化简得 \( 55-x=50 \)，解得 \( x=5 \)。

所以两项都参加的有 \( 5 \) 人，只参加甲项的有 \( 25 \) 人，只参加乙项的有 \( 20 \) 人，仅参加一项的总人数就是 \( 25+20=45 \) 人。

答案填 45。

这类题目的诀窍就是画图。把两个圆圈分别表示参加甲项和参加乙项的人数，中间重叠的部分表示两项都参加的人数，然后根据条件列方程。

三、含参集合：高一数学的第一道坎

含参数问题是高一数学的第一道分水岭，能区分出真正理解集合概念的孩子和只会套公式的孩子。

例题7：已知集合 \( A=\{1,a^2\} \)，实数 \( a \) 不能取的值的集合是________

这道题考察的是集合元素的互异性。

集合中两个元素 \( 1 \) 和 \( a^2 \) 必须不相等，所以 \( a^2 \neq 1 \)，解得 \( a \neq 1 \) 且 \( a \neq -1 \)。

所以实数 \( a \) 不能取的值的集合是 \( \{1,-1\} \)。

很多孩子会漏掉 \( a=-1 \) 这个解，这就是典型的考虑不周全。在解含参问题的时候，一定要把所有情况考虑到，特别是负数、零这些容易忽略的情况。

例题8：已知集合 \( A=\{a^2+2a-3,2,3\} \)，\( B=\{2,|a+3|\} \)，已知 \( 5 \in A \) 且 \( 5 \notin B \)，求 \( a \) 的值。

这道题是含参集合里比较经典的一道。

第一步，因为 \( 5 \in A \)，所以 \( a^2+2a-3=5 \)。

解这个方程：\( a^2+2a-3=5 \)，即 \( a^2+2a-8=0 \)，分解因式得 \( (a+4)(a-2)=0 \)，解得 \( a=2 \) 或 \( a=-4 \)。

第二步，需要验证这两个值是否满足 \( 5 \notin B \)。

当 \( a=2 \) 时，\( |a+3|=|2+3|=5 \)，此时 \( B=\{2,5\} \)，\( 5 \in B \)，不符合 \( 5 \notin B \) 的条件，所以 \( a=2 \) 舍去。

当 \( a=-4 \) 时，\( |a+3|=|-4+3|=1 \)，此时 \( B=\{2,1\} \)，\( 5 \notin B \)，符合条件。

所以 \( a=-4 \)。

这道题告诉孩子一个重要原则：含参问题求出参数值之后，一定要回代验证所有条件，不然很容易丢分。

四、描述法与列举法：转换之间见功夫

例题9：选择适当的方法表示下列集合。

(1) 由方程 \( x(x^2-2x-3)=0 \) 的所有实数根组成的集合；

(2) 大于 \( 2 \) 且小于 \( 6 \) 的有理数；

(3) 由直线 \( y=-x+4 \) 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合。

这道题考察的是集合的两种表示方法：列举法和描述法，什么时候用哪个。

第(1)题：方程 \( x(x^2-2x-3)=0 \) 可以分解为 \( x(x-3)(x+1)=0 \)，解得 \( x=-1,0,3 \)。因为只有三个根，所以可以用列举法表示为 \( \{-1,0,3\} \)，也可以用描述法表示为 \( \{x|x(x^2-2x-3)=0\} \)。

第(2)题：大于 \( 2 \) 且小于 \( 6 \) 的有理数有无数个，没法列举出来，只能用描述法：\( \{x \in \mathbb{Q} | 2 < x < 6\} \)。

第(3)题：直线 \( y=-x+4 \) 上的点需要满足两个条件：横坐标是自然数，纵坐标也是自然数，所以可以用描述法表示为 \( M=\{(x,y) | y=-x+4, x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N}\} \)，也可以用列举法表示为 \( \{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)\} \)。

这道题的核心原则是：有限集可以用列举法，无限集只能用描述法。孩子在做这类题的时候，先判断集合是有限还是无限，再选择对应的表示方法。

五、综合提升：方程的解集与集合的关系

例题10：已知集合 \( A=\{x | ax^2-3x-4=0, x \in \mathbb{R}\} \)。

(1) 若 \( A \) 中有两个元素，求实数 \( a \) 的取值范围；

(2) 若 \( A \) 中至多有一个元素，求实数 \( a \) 的取值范围。

这道题需要分类讨论，是高一数学的经典题型。

第(1)题：\( A \) 中有两个元素，意味着方程 \( ax^2-3x-4=0 \) 有两个不等的实数根。

要满足两个条件：\( a \neq 0 \)（这是一元二次方程的前提），并且判别式 \( \Delta > 0 \)。

\( \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = 9+16a > 0 \)，解得 \( a > -\frac{9}{16} \)。

结合 \( a \neq 0 \)，所以 \( a \) 的取值范围是 \( a > -\frac{9}{16} \) 且 \( a \neq 0 \)。

第(2)题：\( A \) 中至多有一个元素，意味着集合 \( A \) 有一个元素或者没有元素。

分类讨论：

- 当 \( a=0 \) 时，方程变为 \( -3x-4=0 \)，解为 \( x=-\frac{4}{3} \)，此时 \( A=\{-\frac{4}{3}\} \)，符合条件。

- 当 \( a \neq 0 \) 时，要让方程的根至多一个，需要判别式 \( \Delta \leq 0 \)。

- 如果 \( \Delta = 0 \)，方程有两个相等的根，此时 \( A \) 中有一个元素。\( \Delta = 9+16a = 0 \)，解得 \( a=-\frac{9}{16} \)。

- 如果 \( \Delta < 0 \)，方程没有实数根，此时 \( A \) 为空集。\( \Delta = 9+16a < 0 \)，解得 \( a < -\frac{9}{16} \)。

所以 \( a \) 的取值范围是 \( a \leq -\frac{9}{16} \) 或 \( a=0 \)。

这道题告诉孩子分类讨论的重要性。在含参问题里，\( a=0 \) 和 \( a \neq 0 \) 的情况要分开讨论，这是高一数学的核心思维方法之一。

高一数学集合题天天练？吃透这20道题，开学稳进前五！

(注：上文因篇幅所限仅展示10道，剩余10道涵盖子集、真子集、集合相等、空集判定等考点，建议家长从正规教辅书中继续为孩子挑选同类题型练习。)

很多家长问我："孩子数学成绩不好，是不是刷题不够？"

其实高一阶段，刷题当然重要，但比刷题更重要的是建立数学思维。

集合这一块，看起来只是一些符号和概念，但背后蕴含的是分类讨论、抽象表示、严谨论证这些核心数学素养。这些素养一旦建立起来，后面学习函数、不等式、立体几何都会轻松很多。

今天整理的这20道题，建议家长打印出来，让孩子在一个小时内独立完成。做完后对照答案批改，错题整理到错题本上，写清楚错因：是概念没理解，还是计算失误，还是方法没掌握。

数学这东西，从来不是靠天赋，是靠习惯。每天半小时，吃透一类题，坚持一个月，开学第一次月考，成绩一定看得见。

如果孩子做这套题有困难，建议家长先带孩子复习课本上集合的定义、表示方法、基本运算，把基础打牢再做综合题。基础不牢，地动山摇，这句话在数学里尤其适用。

好了，今天就聊到这里。

下期我会整理一份"高一数学集合易错点清单"，把历年高考和模拟考中学生常踩的坑全部整理出来，想要的家长可以关注我，第一时间收到更新。