函数的两大性格：单调与奇偶——数学帝带你玩转高考必考点

2. 图象法

直接观察函数图像的升降趋势，快速判断。

3. 复合函数单调性

对于复合函数 \(y=f(g(x))\)，若 \(u=g(x)\) 与 \(y=f(u)\) 在对应区间上同增或同减，则整体同增；若一增一减，则整体异减。这就是传说中的 同增异减 法则。

> 数学帝提醒：单调区间只能是定义域的子集，不能把两个不相邻的单调区间合并写成并集，这一点在考试中经常被考察。

奇偶性：函数的对称暗号

偶函数与奇函数的定义

- 偶函数：对定义域内任意 \(x\)，都有

\[f(-x)=f(x)\]

图像关于 y 轴 对称。常见的例子有 \(f(x)=x^{2},\;|x|\) 等。

- 奇函数：对定义域内任意 \(x\)，都有

\[f(-x)=-f(x)\]

图像关于 原点 对称。典型的奇函数包括 \(f(x)=x^{3},\;\sin x\) 等。

奇偶性的图形特征

- 偶函数在 y 轴两侧呈镜像对称；

- 奇函数在原点中心对称，左右对称且上下相反。

判断奇偶性的“三步走”

1. 检查定义域：先确认函数定义域是否关于原点对称。若不对称，函数必为非奇非偶，后面的步骤直接跳过。

2. 计算 \(f(-x)\)：把 \(-x\) 代入函数，化简后与 \(f(x)\) 比较。

3. 作出结论：

- 若 \(f(-x)-f(x)=0\)，即 \(f(-x)=f(x)\)，则函数为偶函数；

- 若 \(f(-x)+f(x)=0\)，即 \(f(-x)=-f(x)\)，则函数为奇函数。

> 数学帝小技巧：在求 \(f(-x)\) 时，若遇到指数或绝对值等结构，务必先把 \(-x\) 代入并化简，避免出现“忘记负号”导致判断错误。

例子演练

- 判断 \(f(x)=x^{4}-2x^{2}+1\) 的奇偶性。

因为 \(f(-x)=(-x)^{4}-2(-x)^{2}+1=x^{4}-2x^{2}+1=f(x)\)，满足偶函数条件，故为偶函数。

- 判断 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\) 的奇偶性。

\[ f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2}}=\frac{-x}{1+x^{2}}=-f(x) \]

因此该函数为奇函数。

函数的解析式：让函数“说清楚自己”

什么是解析式？

解析式是表达函数对应关系的一种代数形式，通常写成 \(y=f(x)\)。它的核心任务是明确对应法则以及确定定义域。换句话说，解析式就是函数的“身份证”。

常见求解析式的方法

> 数学帝经验：在实际解题时，先观察函数结构再决定使用哪种方法，往往能事半功倍。

最大值与最小值：函数的峰值与谷底

基本定义

- 最大值：在定义域或指定区间内，函数取得的最大函数值。记作 \(f_{\max}=f(x_{0})\)。

- 最小值：在同样范围内，函数取得的最小函数值。记作 \(f_{\min}=f(x_{0})\)。

常见的求极值技巧

1. 二次函数配方法

对于 \(f(x)=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），顶点坐标为 \(\left(-\frac{b}{2a},\;f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)。当 \(a>0\) 时，顶点为最小值；当 \(a<0\) 时，顶点为最大值。

2. 图像观察

直接画出函数图像，峰值点即为最大值，谷点即为最小值。

3. 利用单调性

- 若函数在 \([a,b]\) 上单调递增，在 \([b,c]\) 上单调递减，则 \(x=b\) 为最大值点，对应函数值 \(f(b)\)。

- 反之，若先减后增，则 \(x=b\) 为最小值点。

> 数学帝提醒：求极值时，先确认函数在所给区间的单调区间，再结合上述方法快速定位峰值或谷值。

示例演练

例1：求 \(f(x)=2x^{2}-4x+3\) 在 \([0,3]\) 上的最大值与最小值。

- 先配方：

\[ f(x)=2\bigl(x^{2}-2x\bigr)+3=2\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr]+3=2(x-1)^{2}+1 \]

可知顶点 \((1,1)\) 为最小值点，故 \(f_{\min}=1\)。

- 在区间 \([0,3]\) 上，由于函数在 \([0,1]\) 递减，在 \([1,3]\) 递增，端点 \(x=0\) 与 \(x=3\) 为：

\[ f(0)=3,\qquad f(3)=2\cdot9-12+3=9 \]

因此 \(f_{\max}=9\)（在 \(x=3\) 处取得）。

例2：求 \(f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}\) 的最大值。

- 先求导：

\[ f'(x)=\frac{1+x^{2}-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \]

- 令 \(f'(x)=0\) 得 \(x=1\)（或 \(x=-1\)）。在 \(x=1\) 处，二次导数 \(f''(1)<0\)，说明为极大值点。代入原式：

\[ f(1)=\frac{1}{2} \]

因此函数的最大值为 \(\frac{1}{2}\)。

掌握函数性格，考试不再“迷路”

单调性决定了函数在区间的升降趋势，奇偶性揭示了函数的对称密码；解析式是函数的“身份证”，而极值则是函数在特定范围内的峰值与谷底。把这些概念串联起来，你会发现函数不再是一堆抽象符号，而是一个有血有肉的对象。

> 数学帝的最后一句话：多做题目、勤画图像、善于归纳，这三条黄金法则会帮助你在高考数学的每一次考验中，都能从容不迫、游刃有余。加油，同学们的数学之路，我一直在背后给你们加油！

祝学习顺利，数学成绩节节高升！